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Wie Mathematik beim Gewinnen von Pokernturnieren helfen kann

Poker MathematikLange Zeit wurde Poker als reines Glücksspiel eingestuft. Schließlich kann man als Spieler ja nicht wissen, welche Karten der Gegner hält, was der Flop, Turn und River bringen und wie viel Geld schlussendlich im Pot sein wird. Heute hat sich die Ansicht auf das beliebteste Kartenspiel der Welt radikal verändert. Jedem dürfte klar sein, dass das Können eine gewaltige Rolle spielt und starke Spieler sich häufig auch gegen mehrere Gegner durchsetzen können. Die besten Plätze großer Turniere werden meist von bekannten Profis erklommen und es ist überaus unwahrscheinlich, dass diese regelmäßig durch nichts als Glück und Zufall riesige Summen gewinnen können.

Wir leben in einer Zeit, in der es umfangreiche Bücher und Lehrmaterialien über Poker gibt, und sie alle drehen sich zumindest teilweise um die Mathematik hinter dem Spiel. Durch einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt sich genau ermitteln, welche Entscheidung Sinn ergibt und wofür man sich in der jeweiligen Spielsituation entscheiden sollte. Wichtig ist jedoch zu wissen, dass dies keine exakte Wissenschaft ist, da Poker ein Spiel mit unvollständigen Informationen ist. Dennoch kann die Mathematik uns sehr dabei helfen, zu besseren Pokerspielern zu werden, und diese Aussage wird von jedem erfolgreichen Profi bestätigt.

Kurz vorweg: Wir verwenden im gesamten Titel die englischen Bezeichnungen und Abkürzungen für alle Spielkarten.

Was sind Outs und wie berechnet man sie?

Poker MathematikEin Grundkonzept der Pokermathematik ist das Berechnen der Outs. Ein Out ist jede Karte, die einem in der aktuellen Situation zum besten Blatt verhilft. Nur wer seine Outs kennt, kann entscheiden, ob ein Call Sinn ergibt, und fortgeschrittene mathematische Konzepte anwenden. Auch wenn Sie keinen Hang zur Mathematik haben, müssen Sie den Kopf nicht in den Sand stecken. Wir beginnen ganz langsam und versuchen Ihnen alles möglichst anschaulich zu erklären.

Das Bestimmen der Outs anhand eines Beispiels:

Nehmen wir an, dass Sie T9 auf der Hand halten, der Flop J83 brachte und Sie nun einen Open Ended Straight Draw halten. Jede 7 und jede Queen bringt Ihnen die bestmögliche Hand und sorgt somit dafür, dass Sie gewinnen werden. Da es vier 7er und 4 Queens im Deck gibt, kommen Sie auf insgesamt 8 Outs. Sollte Ihr Gegner beispielsweise AK halten, bringt Ihnen auch jede T und jede 9 die beste Hand. In diesem Fall müssen Sie die drei verbleibenden Zehner und die drei verbleibenden 9er zu ihren Outs addieren, sodass Sie auf insgesamt 14 Outs kommen.

Da Sie nicht wissen können, welches Blatt Ihr Gegner auf der Hand hält, ist es in den meisten Fällen nicht möglich die Outs haargenau zu berechnen. Sie geben Ihnen dennoch einen Anhaltspunkt darüber, wie wahrscheinlich es ist, eine Hand zu bekommen, mit der Sie eine gute Gewinnchance haben.

Die Odds zeigen Ihre Chance sich zu verbessern

Poker MathematikUm errechnen zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit man seinen Draw treffen wird, wurde das Konzept der Potodds erfunden. Hier teilen Sie die Anzahl Ihrer Outs durch die verbliebenen Karten im Stapel und erfahren so die Chance auf eine der begehrten Outs. Um dies zu berechnen teilen Sie die Anzahl Ihrer Outs durch die Anzahl der unbekannten verbleibenden Karten. Sollten Sie auf eine Ihrer Overcards hoffen und der Flop ist bereits gelegt, rechnen Sie also 6/47 = 12,7%.

Nun kommt nach dem Turn aber noch der River. Sollten Sie am Turn keine Ihrer Outs getroffen haben, sind Ihre Potodds 6/46 = 13%.

Als Vereinfachung verdoppeln Sie einfach die Wahrscheinlichkeit des Turns und erhalten Ihre Gesamtchance einen Out zu treffen.

Um den lästigen Brüchen zu entfliehen und eine schnellere Berechnung zu ermöglichen, wurde folgende Faustformel entwickelt:

Für die Wahrscheinlichkeit einen Out am Turn zu treffen:

2 x Outs +1

Für die Wahrscheinlichkeit einen Out am Turn und River zu treffen:

4 x Outs

Der Expected Value zeigt Ihnen, welchen Anteil des Pots Sie durchschnittlich gewinnen

Das Glück hat kein Gedächtnis, und nur weil man die letzten drei Straightdraws nicht getroffen hat, heißt dies noch lange nicht, dass man beim nächsten mehr Erfolg haben wird. Dennoch ist es so, dass sich Ihre Ergebnisse auf lange Sicht stets immer mehr den errechneten Wahrscheinlichkeiten angleichen und man so langfristig entscheiden kann, welche Entscheidung korrekt ist und welche nicht. Ein wichtiges Instrument dafür ist der Expected Value (EV). Der EV gibt Auskunft darüber, wie viel des Pots Sie durchschnittlich gewinnen werden. Sollten Sie unendlich oft in genau die aktuelle Situation kommen, werden Sie im Durchschnitt stets mit dem Geldwert des EV belohnt werden.

EV beim Würfeln

Um das Konzept zunächst anschaulich an einem Beispiel aus dem Alltag zu verdeutlichen, ziehen wir einen Würfel heran. Dieser hat sechs Seiten und jede von ihnen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden, nämlich 1/6.

Multiplizieren wir nun jede Augenzahl mit der Eintrittswahrscheinlichkeit und addieren die Produkte miteinander, erhalten wir folgende Ergebnis:

1/6 * 1 + 1/6 * 2 + 1/6 * 3 + 1/6 * 4 + 1/6 * 5 + 1/6 * 6 = 21/6 oder 3,5.

Der EV eines Würfels liegt somit bei 3,5. Würfelt man also unendlich oft, erhält man im Durchschnitt den Augenwert 3,5.

EV beim Pokern

Den EV beim Poker zu berechnen, ist in der Regel etwas umständlicher als beim Würfeln. Das liegt daran, dass es nicht nur 6 verschiedene Karten (Würfelseiten) gibt, sondern 52. Zudem sind zwei Akteure involviert. Dennoch ist das Konzept sehr nützlich und kann Ihnen als Entscheidungshilfe dienen. Nehmen wir folgendes Beispiel:

Sie befinden sich am River und blicken auf folgende Situation:

Board:

KcTc8c3c2h

Pot: 100 €

Sie halten Jc9d und Ihr Gegner setzt 50 €. Wir nehmen an, dass er dies in 10 % der Fälle mit einem Bluff und in 90 % der Fälle mit einem beliebigen Flush machen wird.

Szenario Bluff:

170 € (aktueller Pot + Bet des Gegners) x 0,1 (Wahrscheinlichkeit, dass er einen Bluff hält) = 17 €

Szenario niedriger Flush:

170 € x 6/13 (es gibt 13 Clubs, vier liegen auf dem Board, eine auf Ihrer Hand, zwei sind als Ihrer) = 78,4€

Szenario höherer Flush:

-70 € (Ihr erforderlicher Einsatz) x 2/13 (die Anzahl der höheren Clubs) = -10,77€

Addiert man die Ergebnisse, kommt man zu dem Schluss, dass Sie mit einem Call durchschnittlich 80,63 € (17 € + 78,4 € - 10,77 €) gewinnen. Der EV beträgt des Calls beträgt demnach 80,63 €.

Implied Odds – zukünftige Gewinne einrechnen

Poker MathematikDie Odds berücksichtigen ausschließlich Gelder, die sich aktuell im Pot befinden. Ist man aber noch nicht am River angelangt, warten noch zusätzliche Wettrunden, bei denen man Gewinn einstreichen kann, wenn man seine Outs trifft. Auch wenn man also beispielsweise nur eine 25 %ige Chance hat seine Outs zu treffen und 30 % des Pots zahlen muss, kann die Entscheidung dennoch Sinn ergeben, wenn man davon ausgehen kann, dass der Gegner am River mit einer schlechteren Hand weitere Chips investieren wird.
In der Regel spielen die Implied Odds in No Limit Varianten eine große Rolle, da die Bets am River am größten sind und somit noch die Chance besteht, den gesamten Stack des Gegners gewinnen zu können.

Reverse Implied Odds – zukünftige Verluste einrechnen

Selbstverständlich kann es auch vorkommen, dass man einen seiner vermeidlichen Outs trifft, denkt gewonnen zu haben, aber im Endeffekt hinten liegt. In einem solchen Szenario investiert man viele Chips, die man nicht gesetzt hätte, wenn man seinen Out nicht getroffen hätte. Diese zusätzlichen Verluste muss man in seine Entscheidung einfließen lassen und die Summe der Outs reduzieren.

Pot Odds – wie viel Sie für Ihre Chance zahlen müssen

Mit Hilfe der Pot Odds können Sie sich veranschaulichen, wie viel Sie bezahlen müssen und welche Geldmenge zu gewinnen ist. Beträgt der Pott beispielsweise aktuell 50 € und ein Gegner leistet eine Wette von 10 €, füllt er sich auf insgesamt 60 € an. Um weiterhin mitspielen zu können, müssen Sie die Wette von 10 € callen. Ihre Pot Odds betragen 10 €/60 €, also 1/6 oder 16,67 %.

Dies ist besonders interessant zu wissen, wenn Sie abschätzen müssen, ob ein Weiterspielen Sinn ergibt oder nicht. Sind Ihre Odds höher als Ihre Pot Odds, sollten Sie unter allen Umständen über einen Call nachdenken.

Die Varianz beschreibt den Glücksfaktor

Die Varianz ist ein Segen und Fluch zugleich. Auf kurze Sicht hat Poker einen starken Glücksfaktor, der oft über Sieg oder Niederlage entscheidet. Oft wünscht man sich als Profi, dass dieser nicht existieren würde und man jeden Tag mit Gewinn von den Tischen gehen würde. Wäre dies jedoch der Fall, würden schlechte Spieler gar nicht erst mitspielen und das Pokerspiel würde aussterben.

Bewegt man sich im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung, ist die Varianz das Quadrat der Standardabweichung einer Variable von ihrer Normalverteilung. In einfachen Worten sagt sie aus, wie wahrscheinlich es ist, dass auf kurze Sicht nicht das erwartete Ergebnis eintritt, sondern ein anderes. Überträgt man dies auf das Pokerspiel, kann man die Varianz nutzen um zu errechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Spieler trotz besseren Spielfähigkeiten einem schlechteren Spieler unterliegen wird. Auch in einzelnen Händen spielt sie eine Rolle, da sie Auskunft darüber gibt, wie wahrscheinlich es ist mehrmals in Folge einen Draw nicht zu treffen, oder mit der besseren Hand zu verlieren.

Pokerspieler sind keine Nerds mit Taschenrechnern

Ich hoffe, unser kleiner Einblick in die Welt der Pokermathematik hat Ihnen gefallen. Vielleicht denken Sie nun, dass alle Profis jegliche Wahrscheinlichkeit im Kopf in wenigen Sekunden berechnen können, doch dies stimmt in den meisten Fällen nicht. Jedoch kennen alle erfolgreichen Spieler die mathematischen Konzepte und wissen, wie sie am Tisch eingesetzt werden können. Es gibt viele Erkenntnisse, die Sie daraus ziehen können und mit Hilfe von Faustformeln kann jeder Mathemuffel sie anwenden. Sobald Sie auf dem Gebiet routiniert sind, wird es Ihnen leicht fallen, Ihre Outs und Odds zu berechnen.